7.4: Poolcoördinaten (2023)

Punten converteren tussen coördinatensystemen

Gegeven een punt \(P\) in het vlak met cartesiaanse coördinaten \((x,y)\) en poolcoördinaten \((r,θ)\), gelden de volgende omrekeningsformules:

\[\begin{align} x &=r\cos θ \label{eq1} \\[4pt] y &=r\sin θ \label{eq2}\end{align} \]

En

\[\begin{align} r^2 &= x^2+y^2 \label{eq3}\\[4pt] \tan θ &=\dfrac{y}{x} \label{eq4}\end{ uitlijnen}. \]

Deze formules kunnen worden gebruikt om te converteren van rechthoekige naar polaire of van polaire naar rechthoekige coördinaten. Merk op dat vergelijking \ref{eq3} de isde stelling van Pythagoras. (Afbeelding \(\PageIndex{1}\)).

Voorbeeld \(\PageIndex{1}\): Converteren tussen rechthoekige en poolcoördinaten

Zet elk van de volgende punten om in poolcoördinaten.

1. \((1,1)\)
2. \((−3,4)\)
3. \((0,3)\)
4. \((5\sqrt{3},−5)\)

Zet elk van de volgende punten om in rechthoekige coördinaten.

5. \((3,π/3)\)
6. \((2.3π/2)\)
7. \((6,−5π/6)\)

Oplossing

A. Gebruik \(x=1\) en \(y=1\) in vergelijking \ref{eq3}:

\[\begin{uitlijnen*} r^2 &=x^2+y^2 \\[4pt] &=1^2+1^2 \\ r &=\sqrt{2} \end{uitlijnen*} \geen nummer \]

en via Vergelijking \ref{eq4}

\[\begin{align*} \tan θ &= \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{1}=1 \\[4pt] θ &=\dfrac{π}{4}. \end{uitlijnen*}\]

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((\sqrt{2},\dfrac{π}{4})\) in poolcoördinaten.

B. Gebruik \(x=−3\) en \(y=4\) in vergelijking \ref{eq3}:

\[\begin{uitlijnen*} r^2 &= x^2+y^2=(−3)^2+(4)^2 \\[4pt] r&=5 \end{uitlijnen*}\]

en via Vergelijking \ref{eq4}

\(\tan θ=\dfrac{y}{x}=−\dfrac{4}{3}\)

\(θ=\arctan(-\dfrac{4}{3})+π≈2.21.\)

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((5,2.21)\) in poolcoördinaten.

C. Gebruik \(x=0\) en \(y=3\) in vergelijking \ref{eq3}:

\(r^2=x^2+y^2=(3)^2+(0)^2=9+0\) \(r=3\)

en via Vergelijking \ref{eq4}

\(\tan θ=\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{0}\).

Directe toepassing van de tweede vergelijking leidt tot deling door nul. De grafiek van het punt \((0,3)\) op het rechthoekige coördinatensysteem laat zien dat het punt zich op de positieve y-as bevindt. De hoek tussen de positieve x-as en de positieve y-as is \(\dfrac{π}{2}\). Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((3,\dfrac{π}{2})\) in poolcoördinaten.

D. Gebruik \(x=5\sqrt{3}\) en \(y=−5\) in vergelijking \ref{eq3}:

\(r^2=x^2+y^2=(5\sqrt{3})^2+(−5)^2=75+25\)

\(r=10\)

en via Vergelijking \ref{eq4}

\(\tan θ=\dfrac{y}{x}=\dfrac{−5}{5\sqrt{3}}=−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(θ=−\dfrac{π}{6}\).

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((10,−\dfrac{π}{6})\) in poolcoördinaten.

e. Gebruik \(r=3\) en \(θ=\dfrac{π}{3}\) in vergelijking \ref{eq1}:

\(x=r\cos θ=3\cos(\dfrac{π}{3})=3(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}\)

En

\(y=r\sin θ=3\sin(\dfrac{π}{3})=3(\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\dfrac{3\sqrt{3}}{ 2}\).

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((\dfrac{3}{2},\dfrac{3\sqrt{3}}{2})\) in rechthoekige coördinaten.

F. Gebruik \(r=2\) en \(θ=\dfrac{3π}{2}\) in vergelijking \ref{eq1}:

\(x=r\cos θ=2\cos(\dfrac{3π}{2})=2(0)=0\)

En

\(y=r\sin θ=2\sin(\dfrac{3π}{2})=2(−1)=−2.\)

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((0,−2)\) in rechthoekige coördinaten.

G. Gebruik \(r=6\) en \(θ=−\dfrac{5π}{6}\) in vergelijking \ref{eq1}:

\(x=r\cos θ=6\cos(−\dfrac{5π}{6})=6(−\dfrac{\sqrt{3}}{2})=−3\sqrt{3}\)

En

\(y=r\sin θ=6\sin(−\dfrac{5π}{6})=6(−\dfrac{1}{2})=−3\).

Daarom kan dit punt worden weergegeven als \((−3\sqrt{3},−3)\) in rechthoekige coördinaten.

Oefening \(\PageIndex{1}\)

Converteer \((−8,−8)\) naar poolcoördinaten en \((4,\dfrac{2π}{3})\) naar rechthoekige coördinaten.

Tip

Gebruik vergelijking \ref{eq3} en vergelijking \ref{eq1}. Zorg ervoor dat u het kwadrant controleert bij het berekenen van \(θ\).

Antwoord

\((8\sqrt{2},\dfrac{5π}{4})\) en \((−2,2\sqrt{3})\)

Voorbeeld \(\PageIndex{2}\): Punten plotten in het poolvlak

Teken elk van de volgende punten op het poolvlak.

1. \((2,\dfrac{π}{4})\)
2. \((−3,\dfrac{2π}{3})\)
3. \((4,\dfrac{5π}{4})\)

Oplossing

De drie punten zijn uitgezet in figuur \(\PageIndex{3}\).

Oefening \(\PageIndex{2}\)

Plot \((4,\dfrac{5π}{3})\) en \((−3,−\dfrac{7π}{2})\) op het poolvlak.

Tip

Begin met \(θ\), gebruik dan \(r\).

Antwoord

Probleemoplossende strategie: een curve uitzetten in poolcoördinaten

1. Maak een tabel met twee kolommen. De eerste kolom is voor \(θ\), en de tweede kolom is voor \(r\).
2. Maak een lijst met waarden voor \(θ\).
3. Bereken de corresponderende \(r\) waarden voor elke \(θ\).
4. Teken elk geordend paar \((r,θ)\) op de coördinaatassen.
5. Verbind de punten en zoek naar een patroon.

Voorbeeld \(\PageIndex{3}\): Een functie tekenen in poolcoördinaten

Maak een grafiek van de curve gedefinieerd door de functie \(r=4\sin θ\). Identificeer de curve en herschrijf de vergelijking in rechthoekige coördinaten.

Oplossing

Omdat de functie een veelvoud is van een sinusfunctie, is deze periodiek met periode \(2π\), dus gebruik waarden voor \(θ\) tussen \(0\) en \(2π\). Het resultaat van de stappen 1–3 wordt weergegeven in de volgende tabel. Afbeelding \(\PageIndex{4}\) toont de grafiek op basis van deze tabel.

Dit is de grafiek van een cirkel. De vergelijking \(r=4\sin θ\) kan worden omgezet in rechthoekige coördinaten door eerst beide zijden te vermenigvuldigen met \(r\). Dit geeft de vergelijking \(r^2=4r\sin θ.\). Gebruik vervolgens de feiten dat \(r^2=x^2+y^2\) en \(y=r\sin θ\). Dit geeft \(x^2+y^2=4y\). Om deze vergelijking in standaardvorm om te zetten, trekt u \(4y\) af van beide zijden van de vergelijking en maakt u het kwadraat af:

\[\begin{uitlijnen*} x^2+y^2−4y &= 0 \\[4pt] x^2+(y^2−4y) &= 0 \\[4pt] x^2+(y ^2−4y+4) &= 0+4 \\[4pt] x^2+(y−2)^2&=4 \end{align*}\]

Dit is de vergelijking van een cirkel met straal 2 en middelpunt \((0,2)\) in het rechthoekige coördinatenstelsel.

Oefening \(\PageIndex{3}\)

Maak een grafiek van de curve gedefinieerd door de functie \(r=4+4\cos θ\).

Tip

Volg de probleemoplossende strategie voor het maken van een grafiek in poolcoördinaten.

Antwoord

De naam van deze vorm is een cardioïde, die we later in deze sectie verder zullen bestuderen.

Voorbeeld \(\PageIndex{4}\): Poolvergelijkingen transformeren naar rechthoekige coördinaten

Herschrijf elk van de volgende vergelijkingen in rechthoekige coördinaten en identificeer de grafiek.

1. \(θ=\dfrac{π}{3}\)
2. \(r=3\)
3. \(r=6\cos θ−8\sin θ\)

Oplossing:

A. Neem de raaklijn van beide zijden. Dit geeft \(\tan θ=\tan(π/3)=\sqrt{3}\). Aangezien \(\tan θ=y/x\) kunnen we de linkerkant van deze vergelijking vervangen door \( y/x\). Dit geeft \(y/x=\sqrt{3}\), wat kan worden herschreven als \(y=x\sqrt{3}\). Dit is de vergelijking van een rechte lijn die door de oorsprong gaat met helling \(\sqrt{3}\). In het algemeen vertegenwoordigt elke poolvergelijking van de vorm \(θ=K\) een rechte lijn door de pool met een helling gelijk aan \(\tan K\).

B. Kwadraat eerst beide zijden van de vergelijking. Dit geeft \(r^2=9.\) Vervang vervolgens \(r^2\) door \(x^2+y^2\). Dit geeft de vergelijking \(x^2+y^2=9\), wat de vergelijking is van een cirkel met als middelpunt de oorsprong met straal 3. In het algemeen geldt elke poolvergelijking van de vorm \(r=k\) waarbijkis een positieve constante vertegenwoordigt een cirkel met een straalkgecentreerd in de oorsprong. (Opmerking: bij het kwadrateren van beide zijden van een vergelijking is het mogelijk om onbedoeld nieuwe punten te introduceren. Hiermee moet altijd rekening worden gehouden. In dit geval introduceren we echter geen nieuwe punten. Bijvoorbeeld, \((−3,\dfrac {π}{3})\) is hetzelfde punt als \((3,\dfrac{4π}{3})\).)

C. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met \(r\). Dit leidt tot \(r^2=6r\cos θ−8r\sin θ\). Gebruik vervolgens de formules

\(r^2=x^2+y^2,x=r\cos θ,y=r\sin θ.\)

Dit geeft

\(r^2=6(r\cos θ)−8(r\sin θ)\)

\(x^2+y^2=6x−8j.\)

Om deze vergelijking in standaardvorm om te zetten, verplaats je eerst de variabelen van de rechterkant van de vergelijking naar de linkerkant en voltooi je vervolgens het kwadraat.

\(x^2+y^2=6x−8y\)

\(x^2−6x+y^2+8y=0\)

\((x^2−6x)+(y^2+8y)=0\)

\((x^2−6x+9)+(y^2+8y+16)=9+16\)

\((x−3)^2+(y+4)^2=25.\)

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt op \((3,−4)\) en straal 5. Merk op dat de cirkel door de oorsprong gaat aangezien het middelpunt 5 eenheden verwijderd is.

Oefening \(\PageIndex{4}\)

Herschrijf de vergelijking \(r=\sec θ\tan θ\) in rechthoekige coördinaten en identificeer de grafiek.

Tip

Converteer naar sinus en cosinus en vermenigvuldig vervolgens beide zijden met cosinus.

Antwoord

\(y=x^2\), wat de vergelijking is van een parabool die naar boven opent.

Voorbeeld \(\PageIndex{5}\): Een spiraal beschrijven

Roep dekamervormige nautilusgeïntroduceerd in het hoofdstuk prelude. Dit wezen vertoont een spiraal wanneer de helft van de buitenste schil wordt weggesneden. Het is mogelijk om een ​​spiraal te beschrijven met behulp van rechthoekige coördinaten. Figuur \(\PageIndex{9}\) toont een spiraal in rechthoekige coördinaten. Hoe kunnen we deze curve wiskundig beschrijven?

Oplossing

Als puntPtegen de klok in rond de spiraal beweegt, neemt de afstand d vanaf de oorsprong toe. Stel dat de afstand d een constant veelvoud k is van de hoek \(θ\) die het lijnstuk OP maakt met de positieve x-as. Dus \(d(P,O)=kθ\), waarbij \(O\) de oorsprong is. Gebruik nu de afstandsformule en wat trigonometrie:

\(d(P,O)=kθ\)

\(\sqrt{(x−0)^2+(y−0)^2}=vierkant(\dfraction{y}{x})\)

\(\sqrt{x^2+y^2}=vierkant(\dfractie{y}{x})\)

\(\arctan(\dfraction{y}{x})=\dfraction{\sqrt{x^2+y^2}}{k}\)

\(y=x\tan(\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{k})\).

Hoewel deze vergelijking de spiraal beschrijft, is het voor geen van beide direct mogelijk om deze op te lossenXofj.Als we echter poolcoördinaten gebruiken, wordt de vergelijking veel eenvoudiger. Met name \(d(P,O)=r\), en \(θ\) is de tweede coördinaat. Daarom wordt de vergelijking voor de spiraal \(r=kθ\). Merk op dat als \(θ=0\) we ook \(r=0\) hebben, dus de spiraal komt uit de oorsprong. We kunnen deze beperking verwijderen door een constante aan de vergelijking toe te voegen. Dan wordt de vergelijking voor de spiraal \(r=a+kθ\) voor willekeurige constanten \(a\) en \(k\). Dit wordt een genoemdArchimedische spiraal, naar de Griekse wiskundige Archimedes.

Een ander type spiraal is de logaritmische spiraal, beschreven door de functie \(r=a⋅b^θ\). Een grafiek van de functie \(r=1.2(1.25^θ)\) is gegeven in figuur \(\PageIndex{10}\). Deze spiraal beschrijft de schelpvorm van de nautilus met kamers.

Symmetrie in poolkrommen en vergelijkingen

Beschouw een kromme gegenereerd door de functie \(r=f(θ)\) in poolcoördinaten.

1. De kromme is symmetrisch om de poolas als voor elk punt \((r,θ)\) op de grafiek, het punt \((r,−θ)\) ook op de grafiek ligt. Evenzo blijft de vergelijking \(r=f(θ)\) ongewijzigd door \(θ\) te vervangen door \(−θ\).
2. De kromme is symmetrisch om de pool als voor elk punt \((r,θ)\) op de grafiek, het punt \((r,π+θ)\) ook op de grafiek ligt. Evenzo blijft de vergelijking \(r=f(θ)\) ongewijzigd wanneer \(r\) wordt vervangen door \(−r\), of \(θ\) door \(π+θ.\)
3. De kromme is symmetrisch rond de verticale lijn \(θ=\dfrac{π}{2}\) als voor elk punt \((r,θ)\) in de grafiek het punt \((r,π−θ) \) staat ook op de grafiek. Evenzo blijft de vergelijking \(r=f(θ)\) ongewijzigd wanneer \(θ\) wordt vervangen door \(π−θ\).

Voorbeeld \(\PageIndex{6}\): Symmetrie gebruiken om een ​​poolvergelijking te tekenen

Zoek de symmetrie van de roos gedefinieerd door de vergelijking \(r=3\sin(2θ)\) en maak een grafiek.

Oplossing

Stel dat het punt \((r,θ)\) op de grafiek van \(r=3\sin(2θ).\) ligt

i. Probeer eerst \(θ\) te vervangen door \(−θ\) om te testen op symmetrie rond de poolas. Dit geeft \(r=3\sin(2(−θ))=−3\sin(2θ)\). Aangezien dit de oorspronkelijke vergelijking verandert, wordt niet aan deze test voldaan. Echter, terugkeren naar de oorspronkelijke vergelijking en \(r\) vervangen door \(−r\) en \(θ\) door \(π−θ\) levert op

\[ \begin{uitlijnen*} −r&=3\sin(2(π−θ)) \\[4pt] −r &=3\sin(2π−2θ) \\[4pt] −r &=3\ sin(−2θ) \\[4pt] −r &=−3\sin2θ. \end{uitlijnen*}\]

Vermenigvuldiging van beide zijden van deze vergelijking met \(−1\) geeft \(r=3\sin 2θ\), wat de oorspronkelijke vergelijking is. Dit toont aan dat de grafiek symmetrisch is ten opzichte van de poolas.

ii. Om de symmetrie ten opzichte van de pool te testen, vervang je eerst \(r\) door \(−r\), wat resulteert in \(−r=3\sin(2θ)\). Beide zijden vermenigvuldigen met \(−1\) geeft \(r=−3\sin(2θ)\), wat niet overeenkomt met de oorspronkelijke vergelijking. Daarom slaagt de vergelijking niet voor de test voor deze symmetrie. Echter, terugkeren naar de oorspronkelijke vergelijking en \(θ\) vervangen door \(θ+π\) geeft

\[ \begin{align*} r&=3\sin(2(θ+π)) \\[4pt] &=3\sin(2θ+2π) \\[4pt] &=3(\sin 2θ \cos 2π + \cos 2θ \sin 2π) \\[4pt] &=3\sin 2θ. \end{uitlijnen*}\]

Aangezien dit overeenkomt met de oorspronkelijke vergelijking, is de grafiek symmetrisch rond de pool.

iii. Om te testen op symmetrie ten opzichte van de verticale lijn \(θ=\dfrac{π}{2}\), vervang je eerst zowel \(r\) door \(−r\) als \(θ\) door \(− θ\).

\[ \begin{uitlijnen*} −r &=3\sin(2(−θ)) \\[4pt] −r &=3\sin(−2θ) \\[4pt] −r &=−3 \ zonde 2θ. \end{uitlijnen*}\]

Vermenigvuldiging van beide zijden van deze vergelijking met \(−1\) geeft \(r=3\sin 2θ\), wat de oorspronkelijke vergelijking is. Daarom is de grafiek symmetrisch om de verticale lijn \(θ=\dfrac{π}{2}\).

Deze grafiek heeft symmetrie ten opzichte van de poolas, de oorsprong en de verticale lijn die door de pool gaat. Om de functie in een grafiek te zetten, tabuleer je de waarden van \(θ\) tussen \(0\) en \(π/2\) en reflecteer je de resulterende grafiek.

Dit geeft één bloemblad van de roos, zoals weergegeven in de volgende grafiek.

Door dit beeld in de andere drie kwadranten te reflecteren, krijgt u de volledige grafiek zoals weergegeven.

Oefening \(\PageIndex{5}\)Symmetrie

Bepaal de symmetrie van de grafiek bepaald door de vergelijking \(r=2\cos(3θ)\) en maak een grafiek.

Tip

Opmerking gebruiken.

Antwoord

Symmetrisch ten opzichte van de poolas.